音乐的乐理基础——数学角度

1. 1 声学基础

音乐由声波构成，声波是一种机械波。声波以某种频率进行频率和强弱的变化构成了音乐

• 频率：标准计量单位为赫兹$Hz$，即一秒内峰的个数
• 振幅：音量的大小

1.1. 1.1 声音的复合

• 纯音：以固定频率进行简谐振动
• 复合音：有多个纯音组成，音乐由大量不同的复合音构成。产生方式有
• 谐波叠加
• 拍音叠加

最基本的纯音组合$\to$单音，组合$\to$拍音

1.1.1. 谐波 Overtone

在音乐领域中往往称为泛音

一个标准的正弦波可以称为基波，频率是基波整数倍的波是谐波

钢琴的一个键或者小提琴的一根弦都能产生多个谐波，合成之后叫做单音

比若说小提琴声音的形成过程，典型的谐波叠加，下载之后用播放器播放

1.1.2. 拍音

另一种复合音，由两个或多个单音叠加，一般要求这两个音的振幅相近

纯八度的拍音是由频率是$1:2$的两个单音构成的

2. 2 十二平均律和五线谱

人类三大乐器有

• 弦乐–音律学的发展起源
• 用琴弦振动发出声音，长短、粗细、密度都决定了振动的频率
• 一般来说，频率和长度成反比
• 管乐
• 打击乐

为了保证音乐的表达效果，所以要定出

• 相对音高，将不同的单音组合起来——使用十二平均律
• 绝对音高，使得在不同地方演奏的效果相同——使用五线谱

2.1. 2.1 十二平均律

作用：规定两个单音的相对音高

定义：

• 纯八度：频率为$1:2$的两个单音之间的音程
• 将一个纯八度分为12份，每份称为1个半音，两份称为1个全音
• 音程：两个音之间的频率差矩，单位为全音，计算方式为$f_x=f_0*2^\frac{x}{12}$

相差音数	0.5	1	1.5	2	2.5	3	3.5	4	4.5	5	5.5	6
音程名称	小二度	大二度	小三度	大三度	纯四度	三全音	纯五度	小六度	大六度	小七度	大七度	纯八度

2.2. 2.2 五线谱

作用：记录任何形式的音乐

定义：

• 音符：一个音符表达一个单音，每个音符有绝对的音高

• 符头–决定了音高

• 符杆–连接作用

• 符尾–见机行事，符头高了就在下，符头低了就在上

• 五线谱：五条线，从下到上是频率的变化，从左到右是时间的变化

半、全意味着两个音符之间的音程是全音还是半音

• 谱号：五线谱最左边，规定了线和间上的音符的音高

• 升降记号，在音符后面添加标记

• 升号 #

• 降号 b

一共有7个音符

音名	A	B	C	D	E	F	G
唱名	La	Si	Do	Re	Mi	Fa	So

相邻的同名音符之间的音程是八度，也就是频率高了一倍

规定：

• 第二间的La，为A，频率为$440Hz$，所以以它为基准，其他音符的频率就可以推导出来了

• C4位于高音五线谱的下加一线，往高依次是D4、E4、F4，往下依次是B3、A3

• A4的频率是440$Hz$，所以A音的频率为下表

基准音名	A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7
频率(Hz)	27.5	55	110	220	440	880	1760	3520

所以可以根据A的频率计算其他几个音的频率

• 若两个键之间是一个音程，那中间就可以有一个半音，比如Bb==A#

• 有两个音没有必要升，E升半音就是F，B升半音就是C

2.3. 2.3 和声

定义：由超过一个单音所组合而成的声音，所以定义和拍音非常相似

• 西方古典音乐理论中，和声主要研究的是两个单音构成的和声，三个以上单音一般称为和弦

有的和声比较和谐，有的比较刺耳，究其原因就是因为拍音。

相邻两个音之间的频率是以指数变化的，所以近似的频率比，周期所产生的最小公倍数会相差较大。所以最小公倍数小的，就比较和谐

音程	近似频率比	近似整数比	最小公倍数
小二度	1:1.06	15:16	240
大二度	1:1.12	8:9	72
小三度	1:1.19	5:6	30
大三度	1:1.26	4:5	20
纯四度	1:1.34	3:4	12
三全音	1:1.41	7:10	70
纯五度	1:1.50	2:3	6
小六度	1:1.59	5:8	40
大六度	1:1.68	3:5	15
小七度	1:1.78	5:9	45
大七度	1:1.89	8:15	120
纯八度	1:2	1:2	2