1. Why
既然扩展卡尔曼滤波可以解决非线性问题，为什么还要提出无迹卡尔曼滤波呢？
性能：在扩展卡尔曼滤波中，我们只使用了一个点展开来线性化，这就导致了这种估计方法的效果不佳
更好的方法：用许多点来近似
Trade-Off： 如果使用所有的点来近似，那就又会要求太多的计算资源，因此我们只用少量的计算资源获取大大提高的精度
2. How
选择Sigma Points：用少数几个点来表示整个分布，用的点越多，近似就越精确
高斯分布在经过一个非线性变换之后就不再是高斯分布了，所以在这里引入一个Unscented Transform来完成这个变换任务
- 计算一个Sigma Point的集合
通常来说，如果系统是N维的，那么Sigma Point的个数选择$2N+1$
$$
\begin{aligned}
X ^{[0]} &=\mu \
X ^{[i]} &=\mu+(\sqrt{(n+\lambda) \Sigma}){i} \text { for } i=1, \ldots, n \
X ^{[i]} &=\mu-(\sqrt{(n+\lambda) \Sigma}){i-n} \quad \text { for } i=n+1, \ldots, 2 n
\end{aligned}
$$
其中$\Sigma$是协方差矩阵，$\lambda$是一个扩张系数（一般选择$3-n$），$X$是Sigma Point矩阵，每一行都是Sigma Point的集合。
如果系统是2维的，那么$X$就是$2\times5$的大小
给每个Sigma Point赋予不同的权重
$$
\begin{aligned}
w^{[0]} &=\frac{\lambda}{n+\lambda} \
w^{[i]} &=\frac{1}{2(n+\lambda)} \quad \text { for } i=1, \ldots, 2 n
\end{aligned}
$$将这些点做一个非线性变换$g(x)$
变换后的点计算高斯
计算新分布的均值和方差
$$
\begin{aligned}
\mu^{\prime} &=\sum_{i=0}^{2 n} w^{[i]} g\left( X ^{[i]}\right) \
\Sigma^{\prime} &=\sum_{i=0}^{2 n} w^{[i]}\left(g\left( X ^{[i]}\right)-\mu^{\prime}\right)\left(g\left( X ^{[i]}\right)-\mu^{\prime}\right)^{T}
\end{aligned}
$$
3. 卡尔曼滤波框架
- 预测步骤：用上一节提到的几个公式计算新的期望和方差
- 更新步骤：我们可以选择采用之前生成的Sigma Point